Formulário da Projeção TRANSVERSA de Mercator: Como Transformar Coordenadas Geodésicas

A Projeção Transversa de Mercator utiliza um cilindro transverso para projetar a superfície terrestre no plano. O cilindro é colocado tangente ao globo ao longo de um meridiano, de modo que a linha do meridiano é projetada sem distorção e representa o eixo central da projeção. As outras linhas de latitude e longitude são projetadas ao longo de cilindros menores, que são colocados paralelos ao meridiano central e cortam a superfície do globo ao longo de um círculo máximo. A projeção transversa de Mercator é particularmente útil para áreas estreitas em torno do equador, onde os cilindros menores estão próximos ao cilindro central e a distorção é minimizada. Ela é amplamente utilizada para cartografia aeronáutica e naval, bem como para estudos geológicos e de recursos naturais.

Veja a animação abaixo mostrando o aspecto da Projeção de Mercator, Oblíqua de Mercator e Transversa de Mercator, esta última, alvo deste estudo.

Figura 1. Animação das variações das Projeções de Mercator. Fonte: http://downloads2.esri.com/MappingCenter2007/blog/Sept10Images/Mercator_Aspects_Continuum.gif

Para transformar coordenadas geodésicas em planas nesta projeção, siga o formulário abaixo, obtido do livro CONFORMAL MAP PROJECTIONS IN GEODESY de E. J. KRAKIWSKY, 1973.

Para os cálculos abaixo, utilizar a notação:

a = semieixo maior do elipsoide 
b = semieixo menor do elipsoide 
e = excentricidade 
λ0 = longitude geodésica do meridiano central (em radianos) 
λ = longitude geodésica (em radianos) 
φ = latitude geodésica (em radianos) 
φ0 = latitude geodésica inicial (em radianos) 
k = fator de escala 
c = convergência meridiana (em radianos)
N = grande normal 
M = raio de curvatura da seção meridiana 
S = comprimento de arco de elipse meridiana

Problema direto

Coordenadas x e y:

Convergência Meridiana:

Fator de escala:

Onde:

Para calcular S, comprimento de arco de elipse meridiana (ver em Geodésia Geométrica Parte 1, de Camil Gemael):

Segue-se o formulário abaixo:

Faça:

o2 = φ

o1 = 0

s0 = o2 - o1

s1 = sin(2 * o2) - sin(2 * o1)

s2 = sin(4 * o2) - sin(4 * o1)

s3 = sin(6 * o2) - sin(6 * o1)

s4 = sin(8 * o2) - sin(8 * o1)

s5 = sin(10 * o2) - sin(10 * o1)

então:

As equações de mapeamento acima produzem valores x e y com precisão de 0.001m para dl = ± 3°.

Figura 2. Malha de coordenadas da Projeção Transversa de Mercator.

Problema inverso

Calcular primeiro a latitude (φn+1) do ponto de apoio correspondente a um meridiano de comprimento y:

Iterar até (φn - φn+1) ficar suficientemente pequeno, da ordem de 1E-12. Utilize os coeficientes abaixo para calcular a latitude, longitude, convergência meridiana e fator de escala:

Cálculo final da Latitude:

Cálculo da Longitude:

Convergência Meridiana:

Fator de escala:

Veja uma aplicação deste formulário em Python.

As informações a seguir foram retiradas do e-book Understanding Map Projections, produzido pela ESRI.

Propriedades

Forma

Conforme. As formas pequenas são mantidas. As formas maiores são cada vez mais distorcidas à medida que se afastam do meridiano central.

Área

A distorção aumenta com a distância do meridiano central.

Direção

Os ângulos locais são precisos em qualquer lugar.

Distância

Escala precisa ao longo do meridiano central se o fator de escala for 1.0. Se for inferior a 1.0, existem duas linhas retas com escala precisa equidistantes e de cada lado do meridiano central.

Limitações

Dados em um elipsóide não podem ser projetados além de 90 graus do meridiano central. Na verdade, a extensão em um esferoide ou elipsóide deve ser limitada a 15-20 graus de ambos os lados do meridiano central. Além desse intervalo, os dados projetados para a projeção Transversa de Mercator podem não ser projetados de volta para a mesma posição. Dados em uma esfera não têm essas limitações.

Usos e Aplicações

• Sistema de Coordenadas de Plano de Estado (EUA), usado principalmente para zonas estaduais predominantemente norte-sul.

• Folhas quadriculadas de 7½ minutos do USGS. A maioria dos novos mapas do USGS após 1957 usa essa projeção, que substituiu a projeção policônica.

• América do Norte (USGS, o fator de escala do meridiano central é 0.926).

• Mapas Topográficos da Ordnance Survey da Grã-Bretanha após 1920.

• Sistemas de coordenadas UTM e Gauss-Krüger. O mundo é dividido em 60 zonas norte e sul com seis graus de largura. Cada zona tem um fator de escala de 0,9996 e uma falsa leitura leste de 500.000 metros. As zonas ao sul do equador têm uma falsa leitura norte de 10.000.000 metros para garantir que todos os valores y sejam positivos. A zona 1 está em 177° W. O sistema de coordenadas Gauss-Krüger é muito semelhante ao sistema de coordenadas UTM. A Europa é dividida em zonas com seis graus de largura e o meridiano central da zona 1 é igual a 3° E. Os parâmetros são os mesmos do UTM, exceto pelo fator de escala, que é igual a 1,0 em vez de 0,9996. Alguns lugares também adicionam o número da zona vezes um milhão ao valor falso da leitura leste de 500.000. A zona GK 5 poderia ter valores falsos de leitura leste de 500.000 ou 5.500.000 metros.