Projeção Azimutal Equivalente de Lambert: Como Transformar Coordenadas Geodésicas

A Projeção Azimutal Equivalente de Lambert é um tipo de projeção cartográfica desenvolvida por Johann Heinrich Lambert no século XVIII. Ela preserva ângulos a partir de um ponto central, mantendo áreas proporcionais. No entanto, à medida que nos afastamos do ponto central, as distorções aumentam. É usada em mapas temáticos e de aviação, mas deve ser escolhida adequadamente, considerando o propósito e a área geográfica a ser representada.

Para transformar coordenadas geodésicas em planas nesta projeção, siga o formulário abaixo, obtido do livro Map Projections: A Working Manual.

Aspecto Polar. No caso, Polo Norte.

Aspecto Equatorial.

Aspecto Oblíquo.

Problema Direto

O problema direto decorre da transformação das coordenadas geodésicas (ϕ, λ) para as coordenadas planas (x, y).

A origem ocorre em (ϕ₁, λ₀), com o eixo Y coincidindo com o meridiano central λ₀, e y aumentando para o norte. Para o caso geral, as coordenadas planas x e y são dadas por:

Onde:

Nas fórmulas acima:

a é o semieixo maior do elipsóide

e é a excentricidade do elipsóide

β₁ é obtido a partir de β usando q₁ para q, enquanto q₁ e qₚ são obtidos a partir da fórmula de q usando ϕ₁ e 90°, respectivamente, para ϕ, e m₁ é obtido a partir da fórmula de m, calculado para ϕ₁.

Nos casos polares as fórmulas se reduzem a seguir:

Polo Norte (ϕ₁ = 90º)

Polo Sul (ϕ₁ = -90º)

O fator de escala k é dado por:

Caso Geral:

Caso polar:

Estratégia para calcular a convergência meridiana

Para calcular a convergência meridiana com Δx e Δy, comece definindo um pequeno deslocamento em longitude, Δλ′. O ponto original é P(φ, λ) e o ponto deslocado é P′(φ, λ + Δλ′), mantendo a mesma latitude. Projete ambos para o plano LAEA.

Para o ponto P, as coordenadas x e y são obtidas conforme mostramos nas fórmulas anteriores. Sabendo que Δλ = λ - λ₀, para P′ use Δλ + Δλ′. Calcule também ΔB (para o caso geral), de modo que P′ seja gerado com a mesma projeção, assim, obtemos obtendo Δx e Δy (para os casos polares, não precisa de ΔB. Δλ′ precisa ser pequeno, da ordem de 0.000000001º (1.75E-11 rad).

O azimute no plano é dado por γplano​ = atan (Δx​ − x, Δy ​− y). O azimute geodésico verdadeiro entre P e P′ é γv​=azi(P→P′), obtido por um problema inverso no elipsoide. A convergência meridiana resulta da diferença γ = γplano − γv​. Valores positivos indicam que o meridiano verdadeiro está a leste do norte da grade; negativos, a oeste.

Os pares Δx e Δy servem apenas para definir, no plano, o rumo de referência; ΔB (para o caso geral) garante que essas coordenadas usem exatamente a mesma projeção que (x, y) e mantém a consistência de escala, embora não apareça explicitamente na fórmula da convergência. Portanto, basta projetar um ponto e outro ligeiramente deslocado em longitude, medir o azimute do segmento no plano, comparar com o azimute verdadeiro no elipsoide e a diferença é a convergência meridiana.

Problema Inverso

No problema inverso, temos as coordenadas planas (x, y) e precisamos obter as coordenadas geodésicas (ϕ, λ). Para o caso geral:

Os parâmetros β₁ e D já vimos como se calcula. Os parâmetros β, ρ e ce são dados pelas fórmulas abaixo:

Para os casos polares, as fórmulas para a longitude λ são diferentes. Use:

os sinais de q e β são para os casos Polo Norte (+) e Polo Sul (-). Para o caso Polo Norte, a longitude é dada por:

Para o Polo Sul:

Como conduzir os Testes para a Projeção Azimutal Equivalente de Lambert

Seus testes devem ser realizados de modo que, ao aplicar a transformação direta, a fórmula inversa retorne exatamente o valor original de entrada. Dessa forma, é possível verificar se o procedimento está correto.

O programa trg33 Lite também está habilitado à Projeção Azimutal Equivalente de Lambert. Você pode usá-lo para verificar se seu trabalho está correto.

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